[JAVA] 2의 보수법 [음수의 2진 표현, 1의 보수＋1]

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1. 음수의 2진 표현

n비트를 2진수로 표현하면 값의 개수는 총 2ⁿ개다. 4비트로 예를 들면, 4비트는 2⁴(=16) 개의 값을 표현할 수 있다. 이 값을 모두 '부호 없는 정수(0과 양수)'로 표현한다면 '0부터 15까지의 정수'를 나타낼 수 있다.

 

그럼 음수를 표현하려면 어떻게 해야 할까?

왼쪽의 첫 번째 비트(MSB)가
0이면 양수, 1이면 음수로 표현하자.

 

음수를 양수처럼 0처럼 순차적으로 채우게 되면 아래와 같은 문제가 발생한다.

 

1. 두 수를 더했을 때 2진수로 0이 되지 않는다.
2. 0이 두 개 존재(0, －0)
3. 2진수가 증가할 때 10진 음수는 감소

 

그러나, 아래와 같이 '2의 보수법'에 의해 음수를 배치하면 위의 언급한 문제들이 해결된다.

 

'2의 보수법'이 사용되기까지의 과정

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2. 2의 보수법

어떤 수의 'n의 보수'는 더했을 때 n이 되는 수를 말한다.

* ex) 7의 '10의 보수'는 3, 3의 '10의 보수'는 7

 

즉, '2의 보수 관계'에 있는 두 2진수는 더하여 '(자리올림이 발생하고) 0이 되는 수'이다. 

 

0101 ← 10진수로 5
1011 ← 10진수로 －5
─────────
(1) 0000 ← 자리올림이 발생했으나 크기가 4 비트라서 버려짐

 

그럼 음수를 2진수로 표현하려면 어떻게 해야 할까?

2의 보수 = 1의 보수＋1

 

0101 ← 10진수로 5
1010 ← 0101의 '1의 보수'
0001
────────────
1011 ← 10진수로 －5

* '1의 보수'는 0을 1로, 1을 0으로 바꾸는 것이다.

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- 음수의 2진 표현을 구하는 방법

  (1) 음수의 절댓값을 2진수로 변환한다.
       : －5의 절댓값인 5를 2진수로 변환한다. 10진수 5를 2진수로 변환하면 '0101'이다.
  (2) (1)에서 구한 2진수의 1을 0으로, 0은 1로 바꾼다.(1의 보수 구하기)
       : '0101'이 '1010'이 된다.
  (3) (2)의 결과에 1을 더한다.(2의 보수 구하기, 1의 보수＋1)
       : '1010'에 1을 더하면 '1011'이 되고, 이것이 －5의 2진 표현이다.

 

참고문헌 : 남궁성(2016), Java의 정석, 도우출판